Las matemáticas en el renacimiento

Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios matemáticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna.

Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios del XIX.

También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.

el álgebra 

Las actividades matemáticas no solo lograron significativos avances en el área del álgebra, sino que también en la trigonometría y la geometría.
Ya se utiliza un simbolismo básico y simple en álgebra, los símbolos indo-arábigos están suficientemente extendidos, las fracciones decimales se desarrollan lentamente y la teoría de las ecuaciones ha logrado comprender la solución general de la cúbica y la bicuadrática.

Los números negativos son aceptados progresivamente y la trigonometría, considerada ciencia independiente, dispone ya de tablas muy precisas para las seis funciones. En cuanto a la geometría, se desarrollan nuevas orientaciones en geometría descriptiva y proyectiva. Es válido destacar que sin el acceso a la imprenta, todos estos avances no podrían haber sido tan ampliamente difundidos entre las personas.

La aplicación de todos estos conocimientos a campos tan diversos como la cartografía, el arte, la óptica o la contabilidad sirvió para relanzar las matemáticas y darles un impulso de modernidad, sustituyendo los modelos clásicos por unos que contengan un sentído más crítico.

François Viète contribuyó enormemente a esta etapa de la culminación del Renacimiento y comienzo de las matemáticas modernas.

La notación algebraica, un paso importante

El álgebra hasta el siglo XVI era de tipo verbal, en realidad, el álgebra todavía no estaba muy diferenciada de la geometría. La incógnita de un problema era pensada como la longitud de un segmento de recta; el cuadrado de la incógnita se refería al área de un cuadrado y su cubo, al volúmen de un cubo. Desde este escaso punto de vista, tanto números negativos como potencias más grandes a tres eran imposibles de ser razonadas. Además, un cuadrado no podía ser sumado con un cubo es decir no se podía sumar x2+x3, debido a que áreas y volúmenes son cantidades de diferente notaciones y no pueden ser combinadas. Así, el álgebra era todavía un conjunto específico de reglas que eran usadas para resolver ecuaciones particulares. Un avance importante se dio hacia el final del siglo XVI: el álgebra vino a ser una herramienta muy poderosa pues se le proveyó de un mayor simbolismo. Se introdujo la notación exponencial y lo que se escribía como ” A cubus” o “AAA ” podría ser ahora escrito como A3, en pocas palabras, fue una gran simplificación, mejora y modernización . Los símbolos +, –, = fueron también introducidos. Este último fue propuesto por Robert Recorde, quien decía que no existen dos cosas tan iguales, identicas, que dos lineas paralelas.

la trigonometria 

Con relación a la trigonometría debe decirse que, aunque los peritos usaban los métodos geométricos romanos, se empezó a usar algo de trigonometría plana con un método iniciado por Leonardo de Pisa en su Practica Geometriae (1 220).

Otros avances fueron hechos por el mismo George Peurbach (1423 - 1461) de Viena, quien ofreció tablas trigonométricas más precisas y corrigió algunas traducciones latinas delAlmagesto que habían sido realizadas desde versiones árabes y no griegas.

El más conocido, sin embargo, fue Johannes Müller (1436 - 1476), el famoso Regiomontano, que fue discípulo de Peurbach y del cardenal Bessarion (c. 1400 - 1472). Regiomontano no solo haría varias traducciones de obras griegas sino que también estableció su propia imprenta para imprimirlas. Entre ellas las Secciones Cónicas de Apolonio y partes de Arquímedes y Herón. Se sabe que en su libro De Triangulis, 1462 - 1463, Regiomontano se benefició de algunos trabajos árabes para expresar de una mejor manera el conocimiento disponible sobre trigonometría plana, geometría esférica, y trigonometría esférica.

Un detalle sobre Müller: Nicolás de Cusa (1401 - 1464), quien se supone fue el primer europeo que buscó resolver el problema clásico de la cuadratura del círculo, y un intelectual, incluso cardenal, que tendría importantes repercusiones, fue corregido por Regiomontano (1436 - 1476), quien le señaló algunos problemas o errores de razonamiento.

La construcción de tablas fue otro asunto importante durante los siglos XV y XVI. Por ejemplo, laboraron en eso George Joachim Rheticus (1514 - 1576), Copérnico, François Vieta (1540 - 1603) y Barthdolomaeus Pitiscus (1561 - 1613). En estos trabajos usaron números de unidades muchísimo más largos en el radio, de tal forma que los valores de las cantidades trigonométricas pudieran ser obtenidas con mayor precisión sin usar fracciones o decimales. Rheticus calculó una tabla de senos basado sobre un radio de diez a la diez unidades y otro basado en diez a la 15 unidades y dio valores para cada diez segundos del arco. Pitiscus corrigió algunos de estos trabajos. Se supone, precisamente, que la palabra trigonometría fue dada por él.

Un detalle interesante con Rheticus es que cambió el significado del seno. Antes se usaba como el seno del arco y no del ángulo (en una circunferencia), ahora era el seno del ángulo.

Más adelante toda la trigonometría plana y esférica fue sistematizada y extendida por Vieta. Su obra Canon Mathematicus (1 579) ofrece las fórmulas para la solución de los triángulos planos recto y oblicuo y la ley de las tangentes, elaborada por él mismo. Vieta ofreció más identidades trigonométricas que las que había establecido Ptolomeo.

Tal vez, lo más importante a señalar de la trigonometría del siglo XVI es su separación de la astronomía y su evolución como una rama propia de las matemáticas. No es que ésta ya no se usara en la astronomía, sino que era aplicada en otras dimensiones adicionales como, por ejemplo, la topografía.

la geometría en el renacimiento 

El arte medieval era profundamente religioso, la representación de la realidad y del hombre no eran importantes, Dios y los santos eran figuras adoradas, pero su representación o era irreal o estaba idealizada, esbeltas figuras para ser vistas desde la perspectiva inferior en las iglesias, los artistas poco a poco fueron haciéndose mas profesionales y dedicados, las horribles pinturas mal proporcionadas eran la norma, Giotto di Bondone fue el primer pintor que redescubrió el realismo griego, sus obras volvían a presentar las figuras humanas en sus proporciones correctas, por su belleza y proporción geométrica, es considerado la primera luz de la razón en las edades obscuras, su arte fue el nacimiento de lo que con el tiempo se llamaría Renacimiento.

La matemática está en el origen de toda cultura, sin precisos conocimientos de geometría, aritmética y trigonometría, es imposible crear una hermosa catedral, una figura escultórica con una forma humana exacta o reproducir la hermosa realidad de una pintura de Ucello, Miguel Ángel o Rafael.

LAS BASES: Piero della Francesca

Los pintores renacentistas se dieron cuenta de que la realidad de la naturaleza es geométrica, el horizonte es una línea recta, el sol y la luna esferas, los edificios son rectas y planos, los cuerpos de los animales son círculos matizados e incluso el cuerpo humano son esferas, cilindros y demás, Piero della Francesca encontró que todo ello obedecía a determinadas leyes matemáticas, como el punto de fuga; escribió libros de arte que son obras de matemática precisa.

LA PERFECCION DE LA MATEMATICA: UCELLO

Si alguien estudio con detalle la formas simples de la naturaleza, este fue Paolo Ucello, sus obras son elaboradas aplicaciones de la perfección geométrica, en el estudio para la estatua de Hawkwood, el caballo está pintado siguiendo círculos y elipses, el gorro es un masaccio, las bases son cuadrángulos, las fuentes parábolas y elipses, sus obras son hermosas realizaciones del más puro arte geométrico.

Ucello planeaba cuidadosamente sus obras, creando esquemas previos en los que hacia estudios detallados de las secciones rectas, formas y figuras, mucho antes de siquiera tocar el pincel, comprendio profundamente el significado de la geometria en la representacion de la realidad.

En sus obras hay cierto sabor a geometria pura, como puede sentirse en el Diluvio, notese el punto de fuga ligeramente arriba del centro del cuadro, y el Massacio alrededor del cuello de la figura en primer plano.

EL PUNTO DE FUGA

La realidad establece leyes estrictas, como lo son las matemáticas; el punto de fuga fue uno de los primeros descubrimientos, los objetos entre más lejanos, son más pequeños, pero obedeciendo los conceptos geométricos de las rectas, el tamaño real disminuye linealmente, al colocar un punto de convergencia en la pintura, hacia el que tienden todas las rectas del cuadro, se crea una perfeccion matematica.

LEONARDO EL TOQUE DEL GENIO

Si los primeros pintores del Renacimiento eran inteligentes, los pintores del alto renacimiento como Leonardo, Rafael, Caravaggio, Miguel Ángel; Van Eyck o Rembrant, lograron algunos de los momentos más elevados del espíritu humano, sus obras están llenas de las más profundas emociones humanas, y de geometría, la Virgen de la Rocas de Leonardo es un magnifico resumen del Renacimiento, juega con la simetría, los puntos de fuga múltiples, la geometría básica se ha llevado hasta un punto en que la ternura de la virgen es una unión entre el color, la esfera, la luz y los sentimientos.